Iteracions
Iteració amb variable real
En matemàtiques, iterar una funció consisteix en aplicar una funció a un número o a una variable inicial i, després, tornar a aplicar la mateixa funció al resultat obtingut, repetir, iterar tantes vegades com calgui. Es pot dir, doncs, que una funció iterada és una funció composta amb ella mateixa de forma repetida o infinitament.
La següent finestra està realitzada amb el programa Geogebra. Per tal que funcioni us cal tenir instal·lat el plugin de Java.
La funció f(x) = -x2+2x+1 és la que iterem , la funció identitat g(x) = x ens serveix de mirall per transportar les imatges un altre cop a l'eix x per iterar-les, el punt A0 és el número d'inici, els punts A1, A2 , A3 , A4 ... són les diferents resultats de les iteracions representats sobre l'eix x, és el que s'anomena l'órbita del punt A0
Si amb el ratolí es mou el punt A0 al llarg de l'eix d'abscisses s'observen diferents comportaments de la seva òrbita.
| (-∞, -0,26) | l'orbita és no acotada, els valors van cap a - ∞ |
-0,26 |
hi ha un punt fix. L'orbita és constant es queda estancada en aquest punt. |
| (-0,26, 2,62) | les òrbites tenen com a límit el punt 1,62. Però excepcionalment hi ha 5 punts d'aquest intèrval en que l'òrbita queda alternant entre 1 i 2. Són els punts -0,41 , 0 , 1 , 2 i 2,41 |
| 2,62 | també queda estancada en punt -0,26 |
| (2,62,∞) | un altre cop les òrbites tendeixen a - ∞ |
Els valors exactes de la taula anterior són
resultat de resoldre les equacions corresponents.
Les funcions iterades i les òrbites tenen un gran importància dins el camp dels fractals i hi són intensament estudiades.
Funcions de variables complexa
Els nombres complexos acostumen a quedar fora de la programació de matemàtiques de secundària, són una extensió dels nombres reals. Així com els reals es representen amb una recta, els complexes es representen a un pla, on cada nombre complex es representa per una parella de nombres reals.
De la mateixa manera que les funcions amb variable real, les funcions de variable complexa també es poden iterar.
Si es vol representar una funció complexa de la mateixa manera que representem les funcions reals , necessitaríem dos plans complexos lligats o relacionats entre si per tant ens caldria un espai de quatre dimensions. El que fa que es plantegi un problema.
Hi ha diverses solucions emprades per a solucionar aquest problema, la més senzilla és fer servir dos plans complexos per a representar una sola funció: un per al domini i un altre per al recorregut i utilitzar colors per relacionar cada número amb la seva imatge.
La següent imatge mostra la captura de pantalla de l'applet
http://3d-xplormath.org/j/applets/en/vmm-conformalmap-UserConformalMap.html
en el que
es veu aquesta forma de visualització.
L'estudi de les funcions de variable complexa es coneix com anàlisis complexa i té una gran eina tant dins les pròpies matemàtiques com en altres branques de les ciències.
Iteració amb variable complexa
Iterar una funció de variable complexa no és pas més difícil que fer-ho en variable real si s'està avesat a operar amb nombres complexos.
Utilitzant la calculadora WIRIS s'ha realitzat l'iteració de la funció f(z)=z2+C
tocant el 
s'obre una finestra gràfica on es representa el complex z0 que inicialment és 1+i i les primeres de les seves iteracions per la funció f(z)=z2+C, anomenades z1 , z2 , z3 , z4 , z5, z6 , z7 , z8 , z9 unides per segments.
El valor de C és inicialment 0 , però es pot canviar arrossegant-lo amb el ratolí.
Si es modifica el valor del punt inicial z0 s'observa com hi ha diferents comportaments de l'òrbita.
A la finestra gràfica es pot tocar el boto 
per veure millor l'òrbita.
Aquestes iteracions són la base de la creació dels fractals pla complex.
En descriurem dos, els més comuns; el conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Júlia.