La dimensió fraccionària:
- La formalització del concepte dimensió.
- La dimensió d'Hausdorff
- Càlcul de la dimensió fraccionària d'alguns fractals
La formalització del concepte dimensió.
El concepte de dimensió que s'utilitza a la vida quotidiana va ser formalitzat pel matemàtic francès Henri Poincaré 
de la següent manera:
- Un conjunt buit té dimensió -1
- Un objecte té una dimensió un grau superior a la dels punts que l'envolten o les parts que el formen.
Així doncs trobem que:
- Un conjunt buit té dimensió: D = -1
- Un punt té dimensió: D = 0 (està envoltat de buit)
- Un segment té dimensió: D = 1 (està format per punts)
- Un quadrat té dimensió: D = 2 (està format per segments)
- Un cub té dimensió: D = 3 (està format per quadrats)
La dimensió d'Hausdorff
La dimensió fracionària o dimensió d'Hausdorff, és una generalització de la dimensió euclidiana i va ser definida pel matemàtic alemany Felix Hausdorff l'any 1919, abans de que Mandelbrot definís els fractals com a tals.
Per entendre la fórmula d'Hausdorff cal fixar-se primer que:
Partint d'un segment (també auto similar) podem dividir-lo en quatre trossos iguals entre ells. Cada tros és ¼ de la mida del segment original i per tant es necessiten 4 = 4 1 segments petits per cobrir el segment original.
Si ara considerem un quadrat i el subdividim en quadrats més petits cada un amb longitud lateral igual a ¼ de la longitud lateral del quadrat inicial, necessitarem 16 = 4 2 per reconstruir el quadrat original.
Passem al cub. Si dividim el cub original en cubs més petits tots amb aresta de mesura ¼ de la mesura de l'aresta del quadrat original necessitarem, després, 64 = 4 3 cubs petits per tal de reconstruir el gros.
En els casos anteriors, l'exponent té molta importància ja que ens dóna la dimensió.
Així veiem que:
- En una línia (dimensió 1) necessitem 4 = 4 1 trossos per a cobrir el segment original.
- En un quadrat (dimensió 2) necessitem 16 = 4 2 trossos per a completar el quadrat original.
- En un cub (dimensió 3) necessitem 64 = 4 3 trossos per a completar el cub original.
On es veu que la dimensió és l'exponent, així generalitzant podrem extreure'n la formula.
on:
D = Dimensió (1,2,3 en aquests casos)
N = Al número de peces petites necessàries per a cobrir la figura inicial. (4, 16, 64 en els exemples anteriors)
S = Al factor escala. És a dir el quocient entre una mida presa a la figura gran i la mateixa mida presa a la figura petita en una mateixa unitat.
[ 4 = 4(unitats)/1(unitats) en els casos anteriors]
Aplicant les propietats logarítmiques:
log S D = log N
D · log S = log N
Que és la fórmula de Hausdorff que ens permet calcular la dimensió d'una figura sigui fractal o no.
Càlcul de la dimensió del Triangle de Sierpinski
Com a primer exemple observem al Triangle de Sierpinski iniciat amb un triangle al qual dividim entre quatre triangles més petits dels quals només a tres iterarem la operació. (Hi haurà tres rèpliques de mida 1/2 del costat de la figura gran dins seu).
Primeres iteracions del Triangle de Sierpinski
N = 3 (hi ha tres rèpliques petites dins el gros)
S = 2/1 = 2 (Costat de la figura gran dividit entre el costat de la figura petita)
D = log 3 / log 2 ~ 1,585
Ens ha sortit una dimensió més gran que 1 (segment) però més petita que 2 (pla) així doncs, és massa complicat per a ser una línia però massa buit per a ser un pla. Té dimensió fractal.
Càlcul de la dimensió del tetraedre de Sierpinski
Tetraedre de Sierpinski
N = 4 (3 tetraedres a la base i un sobre seu)
S = 2/1 = 2 (L'aresta dels petits és 1/2 de l'aresta de la gran)
D = log 4 / log 2 = 2
Així encara que és una figura situada a l'espai té dimensió 2.
Càlcul de la dimensió del Quadrat de Sierpinski
Comencem amb un quadrat, el dividim en nou quadrats més petits, iguals entre ells i només iterem l'operació en vuit d'ells.
N = 8
S = 3/1 = 3
D = log 8 / log 3 ~ 1'893
Gairebé un pla però no encara.
Càlcul de la dimensió del Conjunt de Cantor
Comencem amb un segment, el dividim en tres trossos, i només iterem l'operació als segments laterals de longitud 1/3 cada un de la longitud del segment inicial.
Les primeres iteracions del Conjunt de Cantor
N = 2 (hi ha dos rèpliques dins el total)
S = 3/1 = 3 (Llargària del segment inicial dividida entre la llargària del segment menor.)
D = log 2 / log 3 ~ 0' 631
Com ens esperàvem, no arriba a la dimensió 1 però tampoc no és un punt de dimensió 0, és un conjunt de punts infinitament petits inapreciables i irrepresentables degut a l'abstracció que comporta. Podeu comprendre per què aquest conjunt també s'anomena pols de Cantor.
Càlcul de la dimensió de l'Esponja de Menger
Primeres iteracions de l'Esponja de Menger
Molt semblant a l'anterior. Tenim 20 cubs de mida 1/3 del gros en els quals iterarem la funció.
N = 20
S = 3/1 = 3
D = log 20 / log 3 ~ 2'727
No arriba a ser un volum.
Càlcul de la dimensió de la Corba i el Floc de neu de Koch
Primeres iteracions del Floc de neu de Koch i la Corba de Koch
Tenim quatre segments que cobreixen el segment total sobre els quals iterarem la funció i cada un d'ells és 1/3 del total.
N = 4
S = 3/1 = 3
D = log 4 / log 3 ~ 1'262
Més que una línia.
El floc de neu i la corba tenen la mateixa dimensió fractal ja que el floc està format per tres corbes . El floc no parteix d'un pla. Només és una corba tancada.
Càlcul de la dimensió de la Corba de Hilbert
Primeres iteracions de la Corba de Hilbert
Iterem la funció en cada quart del cub inicial.
N = 4
S = 2/1 = 2
D = log 4 / log 2 = 2
Ja sabíem el que ens havia de sortir, si ho recordeu, les corbes de Hilbert i de Peano cobreixen el pla i tenen dimensió 2.
Càlcul de la dimensió de la Corba de Peano
Primeres iteracions de la Corba de Peano
Iterem la funció nou vegades dins el cub inicial.
N = 9
S = 3/1 = 3
D = log 9 / log 3 = 2
Com esperàvem.