El conjunt de Mandelbrot
El conjunt de Mandelbrot és un fractal que s'obté iterant una família de funcions sobre el conjunt dels números complexos del pla complex. Aquesta família de funcions està formada per totes les funcions del tipus:
f(z) = z2 + c .
On c és el nombre complex que estudiem , i z és el valor que s'itera amb el valor inicial z0sempre igual a zero.
Aquesta fórmula ens pot recordar als conjunts de Julia però hi ha una diferencia fonamental entre uns i l'altre. Fixem-nos en que per a fer un conjunt de Julia el valor que marcava el punt del pla a representar era el valor inicial amb que començàvem a iterar, però en el conjunt de Mandelbrot el valor que ens marca el punt del pla a representar és el paràmetre c que varia cada vegada que canviem de punt i en canvi, la z inicial ( z0) sempre és zero. Així, doncs, observem que cada valor de c dóna lloc a un polinomi diferent, canvia la fórmula per cada punt del pla complex.
Si iterem aquesta funció per diferents valors de c i sempre des de valor inicial zero z0 = 0 ens adonarem de que per a alguns valors de c , l'òrbita dels resultats de les iteracions resta acotada, mentre que per altres valors tendeix a infinit.
Gràficament s' acostuma a representar els punts del conjunt de Mandelbrot en negre.
L' applet següent que s'ha recollit de la pàgina web http://math.hws.edu/xJava/MB/index.html on el professor David Eck l' ofereix lliurement. Mostra de forma molt gràfica (amb la successió de colors vermell, taronja, groc, verd, blau ) els primers valors de l'òrbita del punt assenyalat pel botó dret del l ratolí.
Cal fer doble clic i s'obrirà en una nova finestra.
Es veu molt visualment com en els punts del conjunt de Mandelbrot les òrbites resten acotades mentre que els punt exteriors les tenen no acotades.
Per determinar si una successió de nombres tendeix a infinit o no, calen infinites iteracions i per tant calen infinits càlculs. Com que el recursos de maquinari i de temps són limitats, s' assigna a cada punt del pla complex un nombre màxim d'iteracions p . Si al finalitzar totes les iteracions, el nombre complex resultant de l'última és més petit que 2 (té un mòdul inferior a 2 ) llavors acceptem que aquell punt pertany al conjunt. En canvi, en el moment en que el resultat d'una de les diferents iteracions sigui més gran que 2 (tingui un mòdul superior a 2 ), entendrem que aquell punt no hi pertany. Quan més gran sigui p més detallat serà el gràfic i més es podran veure les propietats fractals del conjunt.
El resultat de tot aquest complex mètode és una estructura molt complexa, especialment a les fronteres de la figura, on es pot veure fàcilment la propietat d'auto semblança. El conjunt de Mandelbrot és connex (podem anar d'un punt a un altre del conjunt de Mandelbrot mitjançant un camí continuu que passi en tots els seus punts pel conjunt de Mandelbrot)
Aquest conjunt té també una altra propietat suplementària: és el conjunt de valors de c pels quals el corresponent conjunt de Julia Jc és connex.
El conjunt de Mandelbrot i els conjunts de Julia, són l'inici, els pares, d'un gran grup de fractals anomenats fractals al pla complex.
L'estudi d'aquests conjunts té força importància en el terreny de les matemàtiques superiors en el que es coneix com a estudi de Sistemes dinàmics en variable complexa .
Darrerament aquest tipus de fractals s'han "popularitzat" degut a la gran complexitat i la atractiva estètica de les imatges creades amb mètodes relativament simples ja que avui en dia hi ha molts programes que els dibuixen.