|
UNA
APROXIMACIÓ A LES TANGÈNCIES A TRAVÉS DEL PROBLEMA
D'APOLONI
|
|
PRELIMINARS
Quan una recta és tangent
a una circumferència?
Quan dues circumferències
són tangents entre elles?
|
|
ENUNCIAT DEL PROBLEMA D'APOLONI
Es tracta de construir, amb
regle i compàs, una circumferència que sigui tangent a tres
objectes donats, que poden ser punts, rectes i circumferències,
tenint en compte que:
|
1.-
la relació amb un punt és «passar per ell»,
2.- la relació amb una recta és «ser tangent a ella»,
3.- la relació amb una circumferència és també
«ser tangent a ella». |
|
En
les propostes de resolució de cadascun dels casos s'indica en quin
curs es poden començar a tractar. Atenent al mètode cíclic,
tot i que de vegades es pugui iniciar en un curs no vol dir que es pugui
realitzar en aquell mateix curs la resolució completa i poden quedar
certs aspectes per cursos posteriors. En
cada apartat hi ha cassos particulars que poden ser una bona aproximació
al problema. Designant per P el cas punt, per R el cas recta, i per C
el cas circumferència, es presenten deu variants del problema.
En cadascuna d'elles cal dibuixar amb regle i compàs la circumferència
que:
|
|
1. PPP passa per
tres punts.
- Resolució
que requereix coneixements elementals amb una miqueta de rigor. Es pot
realitzar a partir de primer o segon d'ESO. 1-2-ESO.
- Macro que construeix
la circumferencia que passa per tres punts donats. PPP.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
2. PPR és
tangent a una recta i passa per dos punts.
- Resolució
que requereix la potència d'un punt respecte d'una circumferència.
Es podria realitzar a partir de tercer o quart d'ESO. 3-4-ESO.
- Macro que construeix
la/les circumferencia/ies que passa/en per dos punts donats i que és/són
tangent/s a una recta donada. PPR.mac (macro
comprimida en zip)
|
|
3. PPC és
tangent a una circumferència i passa per dos punts.
- Resolució
que requereix la potència d'un punt respecte d'una circumferència.
Es podria realitzar a partir de tercer o quart d'ESO. Hi ha cassos particulars
que poden ser tractats també a primer i segon d'ESO. 1-2-3-4-ESO.
- Macro que construeix
la/les circumferencia/ies que passa/en per dos punts donats i que és/són
tangent/s a una circumferència donada. PPC
(macro comprimida en zip)
|
|
4. RRR és
tangent a tres rectes.
- Resolució
que requereix coneixements elementals amb una miqueta de rigor. Es pot
realitzar a partir de primer o segon d'ESO. 1-2-ESO.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a tres rectes donades. RRR.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
5. RRP és
tangent a dues rectes i passa per un punt.
- Resolució
que es redueix al cas PPR. Els casos particulars es poden realitzar
a 1r o 2n d'ESO, el general a 3r i 4t. 1-2-3-4-ESO.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a dues rectes donades i que passen
per un punt també donat. RRP.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
6. RRC és
tangent a dues rectes i a una circumferència.
- Resolució
que es redueix al cas RRP. Els casos particulars es poden realitzar
a 1r o 2n d'ESO, el general a 3r i 4t. 1-2-3-4-ESO.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a dues rectes donades i a una circumferència
també donada. RRC.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
7. CCC és
tangent a tres circumferències.
- Resolució
que es redueix per inversió al cas RRC. Algun cas particular
es poden realitzar a l'ESO, el general posteriorment. ESO
i posterior.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a tres circumferències donades.
CCC.mac (macro
comprimida en zip)
|
|
8. CCP és
tangent a dues circumferències i passa per un punt.
- Resolució
que el cas general usa hipèboles. Algun cas es pot realitzar
per inversió ...ESO i
posterior.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a dues circumferències i
que passen per un punt. CCP.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
9. CCR és
tangent a dues circumferències i a una recta.
- Resolució
que es redueix al cas CCC. Acceptant el cas CCC només es fa servir
inversió. ESO i posterior.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a dues circumferències i
que passen per un punt. CCR.mac
(macro comprimida en zip)
|
|
10. CRP passa per
un punt i és tangent a una recta i a una circumferència.
- Resolució
que es redueix al cas CCP. Acceptant el cas CCP només es fa servir
inversió. ESO i posterior.
- Macro que construeix
les circumferències tangents a una circumferència, una
recta i que passen per un punt (tots donats). CRP.mac
(macro comprimida en zip)
|