Primer observem
quants atractors té la funció quan A val entre 1 i
4 (fig0
).
Quan A està compresa entre 1 i 3.03125, veiem que hi ha un
sol atractor (fig1).
Quan A està entre 3.03125 i 3.4415, veiem que té 2
atractors (fig2).
Ara donem valors
a A entre 3.4415 i 3.542, i observem que ja té 4 atractors
(fig3).
Si donem a A
valors des de 3.542 fins a 3.562 la funció té 8 atractors
(fig4).
Veiem que quan
A és més gran que 3.562, la funció té
bastants atractors, i que per tant podem dir que no en té
cap (fig5).
Tot i això,
podem observar que hi ha zones dins els valors de A en els quals
la funció té moltíssims atractors, altres en
que el nombre d'atractors torna a ser petits, i en aquestes últimes
es repeteix una estructura semblant a la de la primera figura. Això
és el que passa quan A agafa valors entre 3.781 i 3.8905
(fig6)
i quan n'agafa entre 3.822063 i 3.860750 (fig7).
El mateix passa entre A = 3.625914 i A = 3.635855 (fig8).
Ara mirem què
passa a la funció quan la A agafa diferents valors dintre
les diferents zones que hem definit abans. Quan A val 1.4 veiem
que realment té un sol atractor i que calen fer poques iteracions
per trobar-lo(fig9).
Ara donem a
A el valor 3.578, i observem que els punts es van enviant un a l'altre
i l'altre a un tantes vegades que podem dir que no hi ha atractors(fig10).
Quan A val 3.221(fig11)
observem que realment hi ha només 2 atractors.
Ara agafem valors de dins la zona de descontrol, però en
els punts on es repeteix l'estructura "general". A = 3.835751(fig12),
observem que té 3 atractors, mentre que 3.842594(fig13),
en té 5 i 3.856282(fig14)
en té 12, que són molts, i és el mateix que
no tenir-ne cap.
Els que navegueu
amb Netscape podeu clicar aquestes imatges per veure les figures:
|
|
|
|
|
fig
0
|
fig
1
|
fig
2
|
fig
3
|
fig
4
|
|
|
|
|
|
fig 5
|
fig
6
|
fig
7
|
fig
8
|
fig
9
|
|
|
|
|
|
fig
10
|
fig
11
|
fig
12
|
fig
13
|
fig
14
|
Per tant veiem que la gràfica del nombre d'atractors d'una
funció té una estructura clarament fractal. Petits
canvis en el valor de la A poden provocar grans canvis en el nombre
d'atractors. Si agafem petits trossos de la gràfica i els
ampliem veiem que tenen la mateixa estructura que la gràfica
general, per tant la gràfica té una estructura autosemblant.
|