El punt no el
podem representar perquè és abstracte
Però
això no és pas una definició matemàtica.
Matemàticament
veiem que:
- Cada punt
de la recta es pot identificar amb un número real (dimensió
1).
- Cada punt
d'un quadrat es pot identificar amb una parella de números
reals (dimensió 2).
- Cada punt
d'un cub es pot identificar amb un trio de números reals
(dimensió 3).
Per tant
podríem dir que la dimensió és la quantitat
de números reals que es necessiten per definir un punt dintre
de cada objecte.
Ara ens mirem
el concepte de dimensió des d'un altre punt de vista.
Cal mirar
la dimensió d'una altre manera per poder generalitzar i arribar
a un definició que pugui donar un resultat no enter,
com sabem que passa amb les dimensions de les fractals. Perquè
la definició anterior no ens serveix per generalitzar-la.
Tenim un segment,
que mesura una unitat. Quan multipliquem la unitat per 2, aquest
objecte geomètric (segment) queda multiplicat per 2, 2 =
2^1
(dimensió 1).
Ara agafem un quadrat que els seus costat mesuren unitat; si ara
construïm el mateix quadrat però agafant la unitat el
doble de la anterior, l'objecte geomètric quedarà
multiplicat per 4, 4=2^2
(dimensió 2).
Fem el mateix
amb el cub, si primer construïm un cub de costat unitat i llavors
l'ampliem a un cub amb la unitat el doble de gran que la primera,
el segon cub quedarà multiplicat per 8, 8=2^3
(dimensió 3)
Observem doncs,
que la dimensió es pot definir com un exponent, i un exponent
és un logaritme, concretament aquest és un logaritme
de base 2.
Ens adonem que
aquest factor 2 pel qual multipliquem la unitat, el podem escriure
com P/p, on P és la mesura de la unitat gran i
p la mesura de la unitat petita, agafant una unitat de mesura
comuna qualsevol per comparar-les.
Podríem
anomenar N al número de vegades que la figura ampliada conté
a la figura inicial. I per tant podem dir que N és el
quocient entre el número d'unitats que mesura la figura "ampliada"
i el número d'unitats que mesura la figura "inicial",
utilitzant una unitat de mesura comuna.
Si ens ho mirem
en el cub, veiem que:
- P/p = 2/1,
perquè el costat del cub inicial mesurava 1, i el costat
del cub ampliat mesurava 2. Hagués passat el mateix si
el costat del cub inicial hagués mesurat 2 i el de l'ampliat
4, 4/2 = 2.
- N = 8, perquè
hem vist que el cub ampliat era 8 vegades més gran que
l'inicial. Si el costat inicial hagués mesurat 2 unitats
lineals, el primer cub hagués tingut 8 unitats cúbiques
i el segon 64 unitats cúbiques, i per tant N=8.
La dimensió
del cub hem vist que és 3, i hem vist també que 2^3
= 8, per tant
3 = log2( 8).
Apliquem les
propietats dels logaritmes i ens adonem que:
- Dimensió
= log (8)/log(2)
- Per el que
hem vist abans 2 = P/p, i 8 = N
Ara
ja tenim una fórmula general que ens permet calcular dimensions,
tan si són fraccionàries com si són enteres
Dim
= log (N)/Log (P/p)
|