Introducció
Una mica d'Història
Conceptes Estudiats
31.01.2002
Què entenem per Fractals? DIMENSIÓ FRACTAL
Geometria Fractal
Concepte de Dimensió Fractal
Atractors

Què entenem per dimensió generalment?
Un punt, un segment, un quadrat i un cub, són figures geomètriques de la geometria habitual (euclidiana). Tots estem d'acord que un punt té dimensió 0, un segment té dimensió 1, un quadrat té dimensió 2, i un cub té dimensió 3, però, per què? Intuïtivament podem observar que:

Un segment
un quadrat
un cub
llargada
llarg i ample
llarg ample i alt

 

 

Alguns Fractals
Aplicacions
Fractals que podem observar a la Natura
Dimensió Fractal de la Costa Brava
Mesures de les diferents parts de la Costa Brava
Calculs de la Dimesió Fractal de la Costa Brava
Fotografies de la Costa Brava del Baix Empordà
Conclusions
Opinió Personal
Bibliografia
   

El punt no el podem representar perquè és abstracte

Però això no és pas una definició matemàtica.

Matemàticament veiem que:

  • Cada punt de la recta es pot identificar amb un número real (dimensió 1).
  • Cada punt d'un quadrat es pot identificar amb una parella de números reals (dimensió 2).
  • Cada punt d'un cub es pot identificar amb un trio de números reals (dimensió 3).

Per tant podríem dir que la dimensió és la quantitat de números reals que es necessiten per definir un punt dintre de cada objecte.

Ara ens mirem el concepte de dimensió des d'un altre punt de vista.

Cal mirar la dimensió d'una altre manera per poder generalitzar i arribar a un definició que pugui donar un resultat no enter, com sabem que passa amb les dimensions de les fractals. Perquè la definició anterior no ens serveix per generalitzar-la.

Tenim un segment, que mesura una unitat. Quan multipliquem la unitat per 2, aquest objecte geomètric (segment) queda multiplicat per 2, 2 = 2^1
(dimensió 1).


Ara agafem un quadrat que els seus costat mesuren unitat; si ara construïm el mateix quadrat però agafant la unitat el doble de la anterior, l'objecte geomètric quedarà multiplicat per 4, 4=2^2
(dimensió 2).

Fem el mateix amb el cub, si primer construïm un cub de costat unitat i llavors l'ampliem a un cub amb la unitat el doble de gran que la primera, el segon cub quedarà multiplicat per 8, 8=2^3
(dimensió 3)

Observem doncs, que la dimensió es pot definir com un exponent, i un exponent és un logaritme, concretament aquest és un logaritme de base 2.

Ens adonem que aquest factor 2 pel qual multipliquem la unitat, el podem escriure com P/p, on P és la mesura de la unitat gran i p la mesura de la unitat petita, agafant una unitat de mesura comuna qualsevol per comparar-les.

Podríem anomenar N al número de vegades que la figura ampliada conté a la figura inicial. I per tant podem dir que N és el quocient entre el número d'unitats que mesura la figura "ampliada" i el número d'unitats que mesura la figura "inicial", utilitzant una unitat de mesura comuna.

Si ens ho mirem en el cub, veiem que:

  • P/p = 2/1, perquè el costat del cub inicial mesurava 1, i el costat del cub ampliat mesurava 2. Hagués passat el mateix si el costat del cub inicial hagués mesurat 2 i el de l'ampliat 4, 4/2 = 2.
  • N = 8, perquè hem vist que el cub ampliat era 8 vegades més gran que l'inicial. Si el costat inicial hagués mesurat 2 unitats lineals, el primer cub hagués tingut 8 unitats cúbiques i el segon 64 unitats cúbiques, i per tant N=8.

La dimensió del cub hem vist que és 3, i hem vist també que 2^3 = 8, per tant
3 = log2( 8).

Apliquem les propietats dels logaritmes i ens adonem que:

  • Dimensió = log (8)/log(2)
  • Per el que hem vist abans 2 = P/p, i 8 = N

Ara ja tenim una fórmula general que ens permet calcular dimensions, tan si són fraccionàries com si són enteres

Dim = log (N)/Log (P/p)