Introducció
Una mica d'Història
Conceptes Estudiats
31.01.2002
Què entenem per Fractals? ALGUNES FRACTALS
Geometria Fractal
Concepte de Dimensió Fractal
Atractors

La millor manera d'entendre bé què són les fractals és posar exemples i explicar-les. En aquest apartat hem classificat les fractals segons la forma de generar-les.

Clica sobre un dels tipus per llegir-ne la descripció.

 

Alguns Fractals
Aplicacions
Fractals que podem observar a la Natura
Dimensió Fractal de la Costa Brava
Mesures de les diferents parts de la Costa Brava
Calculs de la Dimesió Fractal de la Costa Brava
Fotografies de la Costa Brava del Baix Empordà
Conclusions
Opinió Personal
Bibliografia
   

 

  • Les del primer tipus s'anomenen Algorismes d'Escapament. Per a cada punt es calculen una sèrie de valors mitjançant la repetició d'una fórmula fins que es compleix una condició, moment en el qual se li assigna al punt un color relacionat amb el nombre de repeticions. La fractal de Mandelbrot és generada per aquest tipus d'algoritmes.
    La fractal de Mandelbrot, els ordinadors la generen fent servir els següents tipus de càlculs:



    Si representem gràficament la seqüència de z's que hem aconseguit amb c = -0.2 + 0.8i, tenim el següent gràfic:

    Ens adonem que aquesta seqüència de z's no fa un espiral a un punt. Enlloc d'això, crea un conjunt d'espirals que fan espiral en 3 punts diferents.
    Resum del comportament:
    Amb c = 0.5i, l'espiral de z's cau en un sol punt. Amb c = -0.2 + 0.8i, l'espiral de z's cau en 3 punts diferents. Amb c = -3 o c=1, el conjunt de z's creix molt ràpid.
    El més interessant de les c's es que no provoquen que les z's creixin molt ràpid (exemple, c = 0.5i i c = -0.2 + 0.8i no provoca un ràpid creixement de z's, però c = -3 i c = 1 sí que ho provoca.). Ara fem la gràfica de tots els valors de c en un pla complex en el que puguem veure el conjunt de z's sense que creixi massa ràpidament:

    Aquest conjunt de nombres complexes és l'anomenat conjunt de Mandelbrot.
    A l'hora de pintar les diferents zones, es pinta amb diferents colors els punts depenent del nombre de vegades que s'hagi de repetir la fórmula per aconseguir que el valor del mòdul del nombre complex resultant sigui més gran que el del nombre complex inicial

    La fractal de Mandelbrot és una de les més conegudes i més boniques. Per tal de demostrar la propietat d'autosemblança de les fractals, he agafat un programa d'ordinador en el qual hi ha la fractal de Mandelbrot inicialment, i es pot agafar-ne un tros i ampliar-la. Fent això he obtingut els següents dibuixos:

    Autosemblaça en el conjunt de Mandelbrot:

    En aquesta successió d'imatges es pot apreciar com agafant una petita part de fractal original, i ampliant-la, ens tornem a trobar amb el dibuix original:
    Clica la imatge per veure les succesives ampliacions:

    Agafant un altre tros de la figura original passa el mateix com podeu veure en aquestes altres successions d'imatges:


    Si poguéssim anar ampliant petits detalls de cada imatge, segur que trobaríem l'imatge original molts cops, i segur també que altres vegades cauríem en taques negres on no es troba res. De totes maneres ho hauríem de fer amb un altre programa perquè aquest només permet 5 ampliacions.

Aquest Gif animat il·lustra la idea anterior molt millor que qualsevol imatge fixa:

El que us mostro a continuació és un seguit d'imatges molt boniques que trobem fent ampliacions al conjunt de Mandelbrot. Aquestes imatges han estat trobades amb el programa fractint.



Aquí hi ha una col·lecció d'imatges de la fractal de Mandelbrot, obtingudes per ampliacions successives, mitjançant un programa en Visual Basic creat per el meu tutor del treball de recerca, Xavier Codolà.

  • El segon tipus és el de les funcions Iterades(IFS). Va ser creat per M. Barsnsley. El sistema de funcions iterades (IFS) es basa en el principi d'autosemblança. En una fractal IFS sempre es pot trobar una part de la figura que guarda una relació de semblança amb la figura completa. Si amb una lupa veiéssim qualsevol fulla petita ens adonaríem que és gairabé igual a la branca completa. Aquest tipus de fractals comparteixen moltes semblances amb molts objectes reals de la natura, per això podem dir que la fulla és una funció iterada, perquè la podem trobar a la natura o la podem crear iterant una funció.
    La complexitat d'aquestes imatges existeix, perquè és bàsicament un gran nombre de repeticions de la mateixa imatge. Això treu partit d'un dels teoremes, que encara que no estigui matemàticament demostrat, diu que si vas fent zoom contínuament a una imatge fractal, es repeteix ella mateixa amb imatges semblants.



Aquesta imatge ha estat treta de www.calweb.com/~bjohnson/
Brad Johnson.



  • Un altre tipus és l'anomenat de Lindenmayer y Sierpinski, anomenat així perquè són els noms de les fractals més conegudes d'aquest tipus. Es tracta d'un triangle en el qual se'n hi allotja un altre, format per la unió de tots els punts mitjos dels seus costats. Això es repeteix amb tots i cada un dels triangles formats que tinguin la mateixa orientació que l'original, i així successivament. El triangle de Sierpinski és una de les poques fractals que es pot dibuixar amb exactitud i sense ajuda d'un ordinador, seguint les instruccions anteriors. El triangle de Sierpinski és un exemple de fractal molt fàcil de crear i d'entendre.
    En la figura 6 es veu molt clarament el procés de construcció d'aquest triangle. Aquest procés es va repetint un nombre infinit de vegades.


Un altre exemple de fractals d'aquest tipus és la corba de koch i el triangle de koch. La corba es forma partint d'un segment que dividim en tres parts iguals. La part central es substitueix per dos sements del mateix tamany que l'eliminat. Es va repetint el mateix successivament per cada segment format. La longitud d'aquesta corba evoluciona d'acord amb la següent successió:
1, 4/3, 16/9, 64/27, 256/81... , L=(4/3)^k. Aquesta corba té una longitud infinita perquè la successió anterior tendeix a infinit. El triangle de Koch es forma quan tenim un triangle equilàter i a cada costat fem el que hem explicat sobre la corba. El triangle de Koch s'anomena també floquet de neu, perquè té una forma que ens recorda aquestes figures de la naturalesa.

  • El següent tipus, és l'anomenat Òrbites Caòtiques. Aquest tipus de model va néixer amb l'estudi d'òrbites caòtiques desenvolupat per E. Lorenz. Sabem des dels primers anys d'estudi que els planetes descriuen òrbites el·líptiques. Com en tot, això és cert només fins a cert punt. L'atractor de Lorenz s'aconsegueix portant aquesta incertitud fins a l'extrem. Considero que explicar els atractors de Lorenz seria massa complicat, i difícil d'entendre, per això el que he fet és descriure un programa que he trobat sobre els atractors, que és senzill d'utilitzar i no tant difícil d'entendre com els atractors de Lorenz.



  • L'últim tipus és l'anomenat Aleatoris i Cel·lulars. Estructures com el plasma o les imatges de difusió depenen en cert grau de l'atzar, per tant són úniques i irrepetibles. Els autòmats cel·lulars estan a l'altre extrem. Funcionen amb senzilles regles que pinten zones a partir del color de les adjacents. Encara que en principi pugui semblar que les imatges aconseguides amb aquest mètode seran senzilles i simètriques, no té perquè ser així. D'aquest tipus no n'explicaré cap exemple perquè són massa complicats, i no són massa importants per entendre què són les fractals.

Tots els tipus de fractals segons la manera de generar-se, tenen coses en comú, però les agrupem segons si la característica més important que tenen és d'un grup o d'un altre.