Les eines de què disposes per resoldre l'equació x⁴ + x³ - x² - 2x - 2 = 0 manualment són: la regla de Ruffini, les identitats notables, la fórmula de l'equació de segon grau i treure factor comú. Cap d'aquestes eines et permetran resoldre aquesta equació, i no perquè no tingui solució.

Intenta resoldre l'equació anterior pel mètode de Ruffini.

Accedeix a la calculadora WIRIS i troba les solucions de l'equació anterior. Representa gràficament la funció f ( x ) = x⁴ + x³ - x² - 2x - 2

Quines solucions ens ha trobat?

La calculadora Wiris utilitza uns mètodes anomenats mètodes numèrics de resolució d'equacions per resoldre equacions complicades. Podríem dir que aquests mètodes consisteixen en anar provant amb diferents valors, obtenint en cada pas un nombre cada vegada més proper a la solució.

El mètode més senzill s'anomena mètode de bisecció i es basa en el Teorema de Bolzano. Aquest teorema diu: donada una funció contínua en un interval [a , b] tal que la imatge de a, i la de b siguin de signe diferent, existeix aleshores un valor c entre a i b tal que la imatge de c és 0 . O dit d'una altra manera si una funció contínua té un punt per sobre de l'eix d'abscisses i un altre per sota segur que entre mig la gràfica tallarà l'eix d'abscisses. (Presta atenció a un detall important: la funció ha de ser contínua).

El punt de partida és l'equació i dos valors, un que doni positiu i un altre que doni negatiu. Per exemple considerem l'equació anterior i els valors 0 i 2. Observa que la imatge de 0 és -2 i la de 2 és 14, per tant entre 0 i 2 hi ha un nombre que té per imatge el 0 i per tant serà una solució de l'equació x⁴ + x³ - x² - 2x - 2 = 0

Provem amb l'1 (el valor mig entre 0 i 2). La imatge de l'1 és -3, per tant, entre 1 i 2 hi ha una solució de l'equació.

Inicia una nova sessió amb la calculadora Wiris clicant sobre la icona de la pestanya Edició . Escriu el títol: Mètode de bisecció
A sota escriu: P(x) = x⁴ + x³ - x² - 2x - 2
a = 0
b = 2
c =

Inicialment la solució està entre a i b (entre 0 i 2). Ara hem de triar si la solució està entre a i c (entre 0 i 1) o bé entre c i b (entre 1 i 2). Les imatges d'aquests dos nombres han de tenir signe diferent, per tant el producte de les imatges d'aquest dos nombres ha de ser negatiu. Així si
P(a)·P(c) < 0 aleshores a no canvia i la b pren el valor de c, altrament b no varia i l' a pren el valor de c .

Completa les instruccions anteriors tal i com es veu a la imatge de la dreta. Utilitza les icones del menú programació.

Clica la fletxa vermella i observa els nous valors d' a i b .

Ara caldria repetir el procés amb els nous valors d' a i b , per exemple 9 vegades (com més repeteixis el procés millor serà l'aproximació, però més temps tardarà). La instrucció que permet reiterar un seguit d'instruccions és

    per condició fer
        instruccions (si és més d'una separades per ;)
    fi

Modifica i completa les instruccions anteriors tal i com es veu a la imatge de la dreta. Utilitza les icones que trobaràs al menú programació.

Troba una aproximació amb 4 xifres decimals d'una solució de l'equació anterior.

Troba una aproximació amb 4 xifres decimals de l'altre solució de l'equació anterior. Quins valors d' a i b has agafat?

Representa gràficament la funció f (x) = -x⁵ + 5x³ - 6.
Quantes solucions té l'equació -x⁵ + 5x³ - 6 = 0?

Utilitza el fitxer biseccio.htm, que acabes de fer, per trobar les solucions d'aquesta equació. Indica les solucions i els valors inicials d' a i b que has agafat en cada cas.

Podem resoldre l'equació x⁴ -8x² +16 = 0 pel mètode de bisecció? Justifica la teva resposta.

Et preguntaràs perquè cal emprar el mètode de bisecció si la comanda resol ( ) ja ens ho fa?

Clica sobre la icona . Escriu la instrucció: resol (2^x - x - 2 == 0). Clica la fletxa vermella. Observa que et diu que no ha trobat cap solució. Ara, pensa mentalment en una solució de l'equació anterior. Segurament hauràs observat que x = 2 n'és una solució.

Troba totes les solucions (una aproximació amb 4 xifres decimals) de l'equació 2^x - x - 2 = 0.

La calculadora Wiris incorpora una comanda que permet resoldre numèricament les equacions: resol_numèricament( )

A més, ens permet indicar el mètode que volem utilitzar (el mètode de bisecció no és l'únic). Si no especifiquem res utilitza el mètode anomenat "smart". Per exemple:

El -4 i el 0 que apareixen a la fórmula són els valors inicials d' a i b en el mètode de bisecció.

Troba les solucions de les equacions següents:

x - -1 = 0

Troba les coordenades dels punts on es tallen les gràfiques d'aquestes dues funcions:
i

Quina comanda permet fer reiteracions d'un seguit de càlculs?