Ajuda
Correu electrònic
 
 
Àlgebra
Programari
Fitxers necessaris
Activitat Word
Wiris
 

Mètodes numèrics per resoldre equacions (II)

A més del mètode de bisecció hi ha d'altres com el de la secant, el de la regula falsi , el de Newton, els mètodes iteratius, etc. Nosaltres només treballarem el mètode de la secant i el de la regula falsi .

El càlcul numèric és la branca de la matemàtica que s'encarrega de l'estudi d'aquests mètodes i la seva eficàcia.

 

 

Mètode de la secant


Es parteix de dos valors qualssevol x 0 i x 1 (no cal que les imatges tinguin signe diferent com passava amb el mètode de bisecció), es traça la recta secant a la corba, es troba el punt de tall de la recta secant amb l'eix d'abscisses i la primera coordenada d'aquest punt li diem x 2 . Es torna a repetir el procés amb x 1 i x 2 obtenint un nou valor x 3 . Si reiterem aquest procés varies vegades obtindrem un seguit de valors que es van aproximant cada vegada més a la solució de l'equació.

Cal tenir en compta que aquest mètode no sempre genera una successió convergent cap a la solució de l'equació.

 

Volem resoldre l'equació 2x -5x+1=0 pel mètode de la secant. Accedeix a la calculadora WIRIS.

Escriu els dos primers valors, per exemple x0 = 3. i x1 = 4.
Escriu la fórmula de la funció: f(x) = 2x -5x+1

Per trobar la recta secant podem utilitzar la interpolació lineal:
    r(x) = interpolar({punt(x0,f(x0)),punt(x1,f(x1))},x)

Per trobar el punt de tall amb l'eix d'abscisses podem resoldre l'equació r(x) = 0:
    s = resol(r(x) == 0)
    x2=s1 (x)

Introdueix aquestes tres últimes instruccions. Et quedarà tal i com apareix a continuació:

 

Quin valor d'x2 has obtingut?

 

Ara hauríem de repetir el procés amb els valors de x1 i x2. Per això afegeix al final dues instruccions més:

x0=x1
x1=x2

Modifica el seguit d'instruccions perquè aquestes instruccions es repeteixin 9 vegades. Per aconseguir-ho fes servir la comanda: per ..... fer.....fi que trobaràs a la pestanya programació. A més tingues en compta que les 5 instruccions que s'han de repetir han d'estar en una sola fila i separades per punts i comes (;).

Afegeix després de fi la instrucció x2, per visualitzar la solució de l'equació.

Desa el fitxer amb el nom secant.htm .


Quina solució s'has obtingut?

Canvia els valors inicials x0 i x1 per obtenir l'altra solució. Quins valors inicials has introduït? Quina és l'altra solució?

 

Completa les instruccions anteriors tal i com es veu a la imatge de la dreta. Utilitza les icones del menú programació.

Clica la fletxa vermella i observa els nous valors d' a i b .

 

El petit programa que has creat és equivalent a la instrucció:

resol_numèricament(2x -5x +1 = 0,{3,4},{mètode="secant"})

 

 

Mètode de la regula falsi

 

L'inconvenient que té el mètode de la secant és que no tenim assegurat l'èxit, com passava amb el mètode de bisecció. El mètode de la regula falsi és una barreja entre el mètode de bisecció i el mètode de la secant. En aquest mètode es parteix de dos valors que tenen imatges de signe contrari (com en el mètode de bisecció), en comptes de triar el valor mig (com en el mètode de la bisecció) es tria el valor del punt de tall de la recta secant amb l'eix d'abscisses (com en el mètode de la secant). En el següent pas no es prenen els dos últims valors (com en el cas del mètode de la secant) sinó que dels tres valors es prenen els dos que tinguin imatges de signe contrari (com en el mètode de la bisecció).

 

Obre el fitxer secant.htm. Desa'l amb el nom regula_falsi.htm. Fes les adaptacions necessàries per implantar el mètode de la regula falsi.

 

El petit programa que has creat és equivalent a la instrucció:

resol_numèricament(2x -5x +1 = 0,{3,4},{mètode="regula_falsi"})

 


Àlgebra